LFU:online

Absolventinnen und Absolventen dieses Moduls haben aufbauend auf Modul 5 vertiefte Kenntnisse in einem oder mehreren Teilgebieten der höheren Mathematik erworben. Sie haben weitere aktuelle Probleme und Methoden zu deren Lösung kennengelernt. Sie sind in der Lage innovative Lösungen für Probleme aus diesen Teilgebieten der Mathematik zu entwickeln.

Die Anzahl der Lösungen eines Systems polynomialer Gleichungen ist in vielen Fällen konstant, wenn man die Koeffizienten der Gleichungen variiert. Diese Beobachtung steht am Beginn der Schnittheorie. Ein Beispiel dafür ist der Satz von Bézout: Zwei Kurven der Grade d und e schneiden sich in d mal e Punkten, wenn man die Multiplizitäten richtig zählt.

In der Schnittheorie schneidet man allgemeiner zwei Unterschemata von gegebenen Kodimensionen in einem umgebenden Schema und erhält ein Schema, von dem man sowohl die Dimension als auch die Anzahl der Komponenten von Vornherein kennt. Man definiert mit Hilfe der Schnitte die Chowgruppe; sie hat ähnliche Eigenschaften wie die Homologiegruppe in der Topologie.

Die Schnittheorie hat den Vorteil, dass sie viele der abstrakten Begriffe der algebraischen Geometrie in einem anschaulichen Kontext mit Leben erfüllt. In unserem Kurs werden wir einige der topologischen Konstruktionen kennen lernen, welche Begriffe der Schnittheorie motivieren, und die Sätze der Schnittheorie in vielen konkreten Beispielen anwenden.

Der Kurs wird dualen Charakter aus VL und PS haben. Gegen Ende sollten einzelne Themen ähnlich wie in einem Seminar von den TeilnehmerInnen präsentiert werden.

Mündliche Prüfungen nach der letzten Vorlesungsstunde, Termine nach Vereinbarung. In die Note werden auch die bearbeiteten und präsentierten Übungsaufgaben eingerechnet.

Eisenbud, Harris, 3264 & All That: Intersection Theory in Algebraic Geometry. http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic720403.files/book.pdf

Vakil, Introduction to intersection theory in algebraic geometry. http://math.stanford.edu/~vakil/245/

Fulton, Intersection Theory.

Einführung in die höhere Algebra und diskrete Mathematik

Übungsaufgaben und weitere Informationen zur Lehrveranstaltung werden auf der Webpage des LV-Leiters zu finden sein.