LFU:online

Durch die seit dem 19. Jahrhundert entwickelte mathematische Logik können fundamentale Fragen der Art

–  Was ist ein mathematischer Beweis?

–  Warum können wir einem formal korrekten mathematischen Beweis vertrauen?

in befriedigender Weise beantwortet werden, womit eine Verbindung zwischen Mathematik und theoretischer Informatik einerseits sowie Philosophie und Wissenschaftstheorie andererseits hergestellt wird. Dieser die Fächer übergreifende Charakter der mathematischen Logik soll in dieser Lehrveranstaltung allen Teilnehmern bewußt gemacht werden.

In der mathematischen Logik werden formale Sprachen entwickelt, deren Ausdrücke als Aussagen über mathematische Objekte und Strukturen interpretiert werden können. Für derartige Ausdrücke kann man präzise definieren, wann ein Ausdruck aus einer Menge vorgegebener Prämissen inhaltlich folgt resp. formal ableitbar ist. Die einfachsten dieser Sprachen sind die prädikatenlogischen Sprachen erster Stufe, welche im wesentlichen den Inhalt dieser Vorlesung bilden. Anhand solcher Sprachen werden wir die semantische Interpretierbarkeit formaler Ausdrücke in einer mathematischen Struktur sowie die Begriffe der logischen Folgerung und der formalen Beweisbarkeit klären. Zuletzt werden wir zeigen, daß in einer prädikatenlogischen Sprache erster Stufe ein Ausdruck genau dann aus einer gegebenen Prämissenmenge inhaltlich folgt, wenn er aus diesen Prämissen formal abgeleitet werden kann: Das ist der von Kurt Gödel im Jahre 1930 bewiesene Vollständigkeitssatz.

Vortrag / eventuell Ausgabe des Vorlesungsmanuskripts am Ende jeder Vorlesungsstunde

Mündliche Prüfungen nach der letzten Vorlesungsstunde / Termine nach Vereinbarung

H.-D. Ebbinghaus / J. Flum / W. Thomas

Einführung in die mathematische Logik

Spektrum Akademischer Verlag 2007

Weitere Lehrbücher über mathematische Logik in deutscher und in englischer Sprache werden im Laufe der Vorlesung angegeben.

Prädikatenlogische Sprachen erster Stufe dienen der exakten Beschreibung einfacher algebraischer und relationaler Strukturen (Gruppen, Ringe, Körper, geordnete Mengen, Verbände etc.). Andererseits werden die Ausdrücke einer solchen Sprache selber als mathematische Objekte (nämlich als endliche Folgen von Symbolen) aufgefaßt und mit Mitteln der diskreten Mathematik und der Mengenlehre untersucht. Zum Verständnis der Vorlesung genügen somit elementare Kenntnisse aus Algebra und diskreter Mathematik. Außerdem sollte man mit grundlegenden Begriffen der Mengenlehre (Mächtigkeiten von Mengen, Auswahlfunktionen, Wohlordnungen) vertraut sein.

Diese Vorlesung wird lediglich die Anfangsgründe der mathematischen Logik behandeln. Sie könnte jedoch in Form weiterer Lehrveranstaltungen über spezielle Teilgebiete der mathematischen Logik (axiomatische Mengenlehre, Theorie der berechenbaren Funktionen, Modelltheorie etc.) fortgesetzt werden, falls dafür Interesse bestehen sollte.